SISTEM BILANGAN

SISTEM BILANGAN Sistem bilangan adalah kode atau simbol yang digunakan untuk menerangkan sejumlah hal secara detail. Sistem bilangan adalah bahasa yang berisi satu set pesan simbul-simbul yang berupa angka dengan batasan untuk operasi aritmatika penjumlahan, perkalian dan yang lainnya. Pada sistem bilangan terdapat bilangan integer dan bilangan pecahan dengan titik radix “.”. (N) r = [ (bagian integer . bagian pecahan) r) Titik radix 2.1. Sistem Bilangan Biner Sistem bilangan biner adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan hanya menggunakan dua simbol angka yaitu ‘0’ dan ‘1’, bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 2 .Sistem bilangan biner digunakan untuk mempresentasikan alat yang mempunyai dua keadaan operasi yang dapat dioperasikan dalam dua keadaan ekstrim. Contoh switch dalam keadaan terbuka atau tertutup, lampu pijar dalam keadaan terang atau gelap, dioda dalam keadaan menghantar atau tidak menghantar, transistor dalam keadaan cut off atau saturasi, fotosel dalam keadaan terang atau gelap, thermostat dalam keadaan terbuka atau tertutup, Pita magnetik dalam keadaan magnet atau demagnet. 2.2. Sistem Bilangan Desimal. Sistem bilangan desimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan sepuluh simbol angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’ dan ‘9’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 10. Sistem bilangan desimal kurang cocok digunakan untuk sistem digital karena sangat sulit merancang pesawat elektronik yang dapat bekerja dengan 10 level (tiap-tiap level menyatakan karakter desimal mulai 0 sampai 9) Sistem bilangan desimal adalah positional-value system,dimana nilai dari suatu digit tergantung dari posisinya. Nilai yang terdapat pada kolom ketiga pada Tabel 2.1., yaitu A, disebut satuan, kolom kedua yaitu B disebut puluhan, C disebut ratusan, dan seterusnya. Kolom A, B, C menunjukkan kenaikan pada eksponen dengan basis 10 yaitu 100 = 1, 101 = 10, 102 = 100. Dengan cara yang sama, setiap kolom pada sistem bilangan biner yang berbasis 2, menunjukkan eksponen dengan basis 2, yaitu 20 = 1, 21 = 2, 22 = 4, dan seterusnya.

Setiap digit biner disebut bit; bit paling kanan disebut least significant bit (LSB), dan bit paling kiri disebut most significant bit (MSB). Untuk membedakan bilangan pada sistem yang berbeda digunakan subskrip. Sebagai contoh 910 menyatakan bilangan sembilan pada sistem bilangan desimal, dan 011012 menunjukkan 01101 pada sistem bilangan biner. Subskrip tersebut sering diabaikan jika sistem bilangan yang dipakai sudah jelas. 2.3. Sistem Bilangan Oktal. Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan delapan simbol angka yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,dan ’7’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 8. Sistem bilangan oktal digunakan sebagai alternatif untuk menyederhanakan sistem pengkodean biner. Karena 8 = 23, maka satu (1) digit oktal dapat mewakili tiga (3) digit biner. 2.4. Sistem Bilangan Heksadesimal. Sistem bilangan heksadesimal adalah suatu sistem atau cara menghitung bilangan dengan menggunakan 16 simbol yaitu ‘0’ ,‘1’, ‘2’,’3’,’4’,’5’,’6’,’7’,’8’,’9’, ’A’,’B’, ’C’,’D’,’E’, dan ‘F’ bilangan ini sering disebut dengan sistem bilangan berbasis atau radix 16. Identik dengan sistem bilangan oktal, sistem bilangan heksadesimal juga digunakan untuk alternatif penyederhanaan sistem pengkodean biner. Karena 16 = 24, maka satu (1) digit heksadesimal dapat mewakili empat (4) digit biner. 2.5. Konversi Bilangan 2.5.1. Konversi bilangan desimal ke biner. Cara untuk mengubah bilangan desimal ke biner adalah dengan membagi bilangan desimal yang akan diubah, secara berturut-turut dengan pembagi 2, dengan memperhatikan sisa pembagiannya. Sisa pembagian akan bernilai 0 atau 1, yang akan membentuk bilangan biner dengan sisa yang terakhir menunjukkan MSBnya. Sebagai contoh, untuk mengubah 5210 menjadi bilangan biner, diperlukan langkah-langkah berikut : 52/2 = 26 sisa 0, LSB 26/2 = 13 sisa 0 13/2 = 6 sisa 1 6/2 = 3 sisa 0 3/2 = 1 sisa 1 ½ = 0 sisa 1, MSB Sehingga bilangan desimal 5210 dapat diubah menjadi bilangan biner 1101002. Cara di atas juga bisa digunakan untuk mengubah sistem bilangan yang lain, yaitu oktal atau heksadesimal.

2.5.2. Konversi bilangan desimal ke oktal. Teknik pembagian yang berurutan dapat digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan oktal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 8 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 581910 ke oktal, langkah-langkahnya adalah : 5819/8 = 727, sisa 3, LSB 727/8 = 90, sisa 7 90/8 = 11, sisa 2 11/8 = 1, sisa 3 1/8 = 0, sisa 1, MSB Sehingga 581910 = 132738 2.5.3. Konversi bilangan desimal ke heksadesimal. Teknik pembagian yang berurutan dapat juga digunakan untuk mengubah bilangan desimal menjadi bilangan heksadesimal. Bilangan desimal yang akan diubah secara berturut-turut dibagi dengan 16 dan sisa pembagiannya harus selalu dicatat. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 340810 menjadi bilangan heksadesimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 3409/16 = 213, sisa 110 = 116, LSB 213/16 = 13, sisa 510 = 516 13/16 = 0, sisa 1310 = D16, MSB Sehingga, 340910 = D5116. 2.5.4. Konversi bilangan biner ke desimal. Seperti yang terlihat pada tabel 2.1. sistem bilangan biner adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit (bit) biner mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik biner seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.3.

Oleh karena itu bilangan biner dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot dari masing-masing posisinya yang bernilai 1. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan biner 1100112 menjadi bilangan desimal dapat dilakukan sebagai berikut: 1 1 0 0 1 1 Biner 25 + 24 + 21 + 20 32 + 16 + 2 + 1 = 51 Desimal Sehingga bilangan biner 1100112 berubah menjadi bilangan desimal 5110. Tabel 2.4. adalah contoh perubahan beberapa bilangan biner menjadi bilangan desimal.

Cara lain untuk mengkonversikan bilangan biner menjadi bilangan desimal dapat dilakukan dengan cara menjumlahkan angka 2 dengan pangkat koefisien biner yang berharga 1. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan 101112 menjadi bilangan desimal, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut : 101112 = 1x 24 + 0x 23 + 1x 22 + 1x 21 + 1x 20 = 2310 2.5.5. Konversi bilangan biner ke oktal. Konversi dari bilangan biner ke bilangan oktal dilakukan dengan mengelompokkan setiap tiga digit biner dimulai dari digit paling kanan(LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan oktal. Sebagai contoh, bilangan 111100110012 dapat dikelompokkan menjadi: 11 110 011 001, sehingga, 112 = 38, MSB 1102 = 68 0112 = 38 0012 = 18¬, LSB Jadi, bilangan biner 111100110012 apabila diubah menjadi bilangan oktal = 36318. 2.5.6. Konversi bilangan biner ke heksadesimal. Bilangan biner dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara mengelompokkan setiap empat digit dari bilangan biner tersebut dimulai dari digit paling kanan (LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal. Sebagai contoh, 01001111010111102 dapat dikelompokkan menjadi: 0100 1111 0101 1110. Sehingga: 01002 = 416, MSB 11112 = F16 01012 = 516 11102 = E16, LSB Dengan demikian, bilangan 01001111010111102 = 4F5E16. 2.5.7. Konversi bilangan oktal ke desimal. Sistem bilangan oktal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit oktal mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik oktal seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.5.

Oleh karena itu bilangan oktal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya. Sebagai contoh, untuk mengubah bilangan oktal 3728 menjadi bilangan desimal dapat dilakukan sebagai berikut: 3 7 2 Oktal 3x82 + 7x81 + 2x80 192 + 56 + 2 = 250 Desimal Sehingga bilangan oktal 3728 berubah menjadi bilangan desimal 25010. 2.5.8. Konversi bilangan oktal ke biner. Konversi dari bilangan oktal ke bilangan biner dilakukan dengan cara mengubah setiap digit pada bilangan oktal secara terpisah menjadi ekivalen biner 3 digit, seperti yang terlihat pada Tabel 2.6.

Sebagai contoh, bilangan oktal 35278 dapat diubah menjadi bilangan biner dengan cara sebagai berikut: 38 = 0112, MSB 58 = 1012 28 = 0102 78 = 1112, LSB Sehingga bilangan oktal 35278 sama dengan bilangan biner 011 101 010 1112. 2.5.9. Konversi bilangan oktal ke heksadesimal. Konversi dari bilangan oktal ke bilangan heksadesimal dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan oktal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal terlebih dahulu. Sebagai contoh, bilangan oktal 3278 dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara diubah dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut: Oktal 3 2 7 Desimal 3x82 + 2x81 + 7x80 = 215 Selanjutnya hasil bilangan desimal diubah ke bilangan heksadesimal, 215/16 = 13, sisa 710 = 716, LSB 13/16 = 0, sisa 1310 = D16, MSB Sehingga, 3278 = 215 10 = D716. Cara lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut: Oktal 3 2 7 Biner 011 010 111 Selanjutnya hasil bilangan biner dikelompokkan setiap empat bit dimulai dari digit paling kanan (LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal. Biner 0 1101 0111 Heksadesimal 0 D 7 Sehingga, 3278 = 110101112 = D716. 2.5.10. Konversi bilangan heksadesimal ke desimal. Sistem bilangan heksadesimal adalah suatu sistem posisional dimana tiap-tiap digit heksadesimal mempunyai bobot tertentu berdasarkan atas posisinya terhadap titik heksadesimal seperti yang ditunjukkan pada tabel 2.7.

Oleh karena itu bilangan heksadesimal dapat dikonversikan ke bilangan desimal dengan cara menjumlahkan bobot kali nilai-nilai dari masing-masing posisinya. Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 152B16 dapat diubah menjadi bilangan desimal dengan cara sebagai berikut: 152B16 = (1 x 163) + (5 x 162) + (2 x 161) + (11 x 160) = 1 x 4096 + 5 x 256 + 2 x 16 + 11 x 1 = 4096 + 1280 + 32 + 11 = 541910 Sehingga, 152B16 = 541910 2.5.11. Konversi bilangan heksadesimal ke biner. Konversi dari bilangan heksadesimal ke bilangan biner dapat dilakukan dengan cara mengubah setiap digit pada bilangan heksadesimal secara terpisah menjadi ekivalen biner 4 bit, seperti yang terlihat pada Tabel 2.8. Tabel 2.8. Ekivalen setiap digit dari bilangan heksadesimal menjadi 4 bit bilangan biner

Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 2A5C16 dapat diubah ke bilangan biner sebagai berikut. 216 = 0010, MSB A16 = 1010 516 = 0101 C16 = 1100, LSB Sehingga, bilangan heksadesimal 2A5C16 dapat diubah menjaid bilngan biner 0010 1010 0101 11002. 2.5.12. Konversi bilangan heksadesimal ke oktal. Konversi dari bilangan heksadesimal ke bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara mengubah bilangan heksadesimal ke bilangan biner atau ke bilangan desimal terlebih dahulu. Sebagai contoh, bilangan heksadesimal 9F216 dapat diubah menjadi bilangan oktal dengan cara diubah dulu ke bilangan desimal, sebagai berikut: Heksadesimal 9 F 2 Desimal 9x162 + 15x161 + 2x160 = 2304 + 240 + 2 = 254610 Selanjutnya hasil bilangan desimal diubah ke bilangan oktal, 2546/8 = 318, sisa 210 = 28, LSB 318/8 = 39, sisa 610 = 68, 39/8 = 4, sisa 710 = 78, 4/8 = 0, sisa 410 = 48, MSB Sehingga, 9F216 = 2546 10 = 47628. Cara lain diubah dulu ke bilangan biner, sebagai berikut: Heksadesimal 9 F 2 Biner 1001 1111 0010 Selanjutnya hasil bilangan biner dikelompokkan setiap tiga bit dimulai dari digit paling kanan (LSB). Kemudian, setiap kelompok diubah secara terpisah ke dalam bilangan heksadesimal. Biner 100 111 110 010 Heksadesimal 4 7 6 2 Sehingga, 9F216 = 1001111100102 = 47628. 2.6. Bilangan Biner Pecahan Dalam sistem bilangan desimal, bilangan pecahan disajikan dengan menggunakan titik desimal. Digit-digit yang berada di sebelah kiri titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin besar, dan digit-digit yang berada di sebelah kanan titik desimal mempunyai nilai eksponen yang semakin kecil. Sehingga, 0.110 = 10-1 = 1/10 0.1010 = 10-2 = 1/100 0.2 = 2 x 0.1 = 2 x 10-1, dan seterusnya. Cara yang sama juga bisa digunakan untuk menyajikan bilangan biner pecahan. Sehingga, 0.12 = 2-1 = ½, dan 0.012 = 2-2 = ½2 = ¼ Sebagai contoh, 0.1112 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 0.5 + 0.25 + 0.125 = 0.87510 101.1012 = 4 + 0 + 1+ ½ + 0 + 1/8 = 5 + 0.625 = 5.62510 Pengubahan bilangan pecahan dari desimal ke biner dapat dilakukan dengan cara mengalikan bagian pecahan dari bilangan desimal tersebut dengan 2, bagian bulat dari hasil perkalian merupakan pecahan dalam bit biner. Proses perkalian diteruskan pada sisa sebelumnya sampai hasil perkalian sama dengan 1 atau sampai ketelitian yang diinginkan. Bit biner pertama yang diperoleh merupakan MSB dari bilangan biner pecahan. Sebagai contoh, untuk mengubah 0.62510 menjadi bilangan biner dapat dilaksanakan dengan 0.625 x 2 = 1.25, bagian bulat = 1 (MSB), sisa = 0.25 0.25 x 2 = 0.5, bagian bulat = 0, sisa = 0.5 0.5 x 2 = 1.0, bagian bulat = 1 (LSB), tanpa sisa Sehingga, 0.62510 = 0.1012